Γκέοργκ Κάντορ: Ο μαθηματικός που κατάφερε να μετρήσει το άπειρο

Γκέοργκ Κάντορ: Ο μαθηματικός που κατάφερε να μετρήσει το άπειρο

Ο Γκέοργκ Κάντορ (Georg Cantor) ήταν διάσημος μαθηματικός, περισσότερο γνωστός για τη Θεωρία Συνόλων που ανέπτυξε και τους υπεραριθμήσιμους αριθμούς.

Η ζωή του

Ο Γκέοργκ Κάντορ γεννήθηκε στις 3 Μαρτίου 1845 στην Αγία Πετρούπολη της Ρωσίας. Ήταν ο μεγαλύτερος από έξι παιδιά. Όταν ο πατέρας του αρρώστησε το 1856, η οικογένειά του μετακόμισε στη Γερμανία, πρώτα στο Βιζμπάντεν, έπειτα στη Φρανκφούρτη.

Το 1862, ο Κάντορ αποφοίτησε από το ETH Ζυρίχης, ενώ αργότερα από το Πανεπιστήμιο του Βερολίνου. Ο Γκέοργκ Κάντορ έλαβε έδρα καθηγητή στο Πανεπιστήμιο του Χάλε.

Το 1874, ο Κάντορ παντρεύτηκε την Εβραϊκής καταγωγής Βάλλυ Γκούτμαν. Απέκτησαν μαζί 6 παιδιά.

Εκείνη την εποχή, ο Κάντορ ανέπτυξε τη Θεωρία Συνόλων. Το 1884, ο Κάντορ εισήχθη σε νοσοκομείο ύστερα από μια περίοδο κατάθλιψης.

Ο Κάντορ αποσύρθηκε από την εκπαίδευση το 1913 και ύστερα από μια περίοδο μεγάλης φτώχειας και πάσχοντας από υποσιτισμό κατά τη διάρκεια του Α΄ Παγκοσμίου Πολέμου, πέθανε στις 6 Ιανουαρίου το 1918, σε ηλικία 72 ετών, στο σανατόριο όπου είχε περάσει το τελευταίο έτος της ζωής του.

Μεγάλη στιγμή της ζωής του είναι η απόδειξη πως το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι υπεραριθμήσιμο κάτι το οποίο κατάφερε με τη χρήση του “Διαγώνιου Επιχειρήματος”.

Μαθηματική έρευνα – Η απαρχή της θεωρίας των συνόλων

Η έρευνα του Κάντορ την περίοδο του 1874 με 1884 αποτελεί την απαρχή της θεωρίας συνόλων. Πριν όμως από την δική του έρευνα, η έννοια του συνόλου χρησιμοποιήθηκε έμμεσα από τις αρχές των μαθηματικών, εμφανίζεται μάλιστα και στις ιδέες του Αριστοτέλη.

Κανείς δεν είχε συνειδητοποιήσει ότι η θεωρία συνόλων είχε μη τετριμμένο περιεχόμενο.

Πριν τον Κάντορ, υπήρχαν μόνο πεπερασμένα σύνολα (τα όποια γίνονταν εύκολα κατανοητά) και τα “άπειρα” (τα οποία συμπεριελάμβαναν θέματα για πιο φιλοσοφική, παρά μαθηματική, συζήτηση).

Αποδεικνύοντας ότι υπάρχουν (απείρως) πολλά πιθανά μεγέθη για άπειρα σύνολα, o Κάντορ γνωστοποίησε ότι η θεωρία συνόλων δεν ήταν ασήμαντη, και χρειαζόταν μελέτη.

Η θεωρία συνόλων αποτελεί τη βάση για τα μοντέρνα μαθηματικά, με την έννοια ότι ερμηνεύει προτάσεις μαθηματικών αντικειμένων (για παράδειγμα, οι αριθμοί και οι συναρτήσεις) από όλους τους τομείς των παραδοσιακών μαθηματικών (όπως της Άλγεβρας, της Μαθηματικής Ανάλυσης και της Τοπολογίας) σε μία ενιαία θεωρία, και παρέχει ένα σύνολο από αξιώματα προς απόδειξη ή όχι.

H βασική αντίληψη της θεωρίας συνόλων χρησιμοποιείται πλέον ευρέως στα μαθηματικά.

Σε ένα από τα τελευταία κομμάτια της εργασίας του, ο Κάντορ απέδειξε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι “πιο μεγάλο” από το σύνολο των φυσικών αριθμών.

Έτσι δείχθηκε, για πρώτη φορά, ότι υπάρχουν άπειρα σύνολα διαφορετικών μεγεθών. Ήταν ο πρώτος που εκτίμησε τη σημασία της 1 προς 1 αντιστοιχίας στη θεωρία συνόλων.

Χρησιμοποίησε μάλιστα την έννοια αυτή για να ορίσει πεπερασμένα σύνολα και άπειρα σύνολα, υποδιαιρώντας το τελευταίο σε μετρήσιμα σύνολα (ή απείρως μετρήσιμα σύνολα) και μη μετρήσιμα σύνολα (ή μη αριθμήσιμα άπειρα σύνολα).

Ένα μετρήσιμο σύνολο είναι ένα σύνολο το οποίο είναι ή πεπερασμένο ή αριθμήσιμο. Τα αριθμήσιμα σύνολα είναι συνεπώς άπειρα μετρήσιμα σύνολα.

Παρόλα αυτά, αυτή η ορολογία δεν χρησιμοποιείται παγκοσμίως, και μερικές φορές το “αριθμήσιμο” χρησιμοποιείται σαν συνώνυμο για το “μετρήσιμο”.

Πληθικότητα

Ο Κάντορ ανέπτυξε σημαντικές προτάσεις στην τοπολογία και σε σχέση με την πληθικότητα.

Για παράδειγμα, έδειξε ότι το Σύνολο του Κάντορ δεν είναι πυκνό πουθενά, αλλά έχει την ίδια πληθικότητα με το σύνολο των πραγματικών αριθμών, ενώ το σύνολο των ρητών είναι παντού πυκνό, αλλά μετρήσιμο.

Ο Κάντορ εισήγαγε θεμελιώδεις κατασκευές στη θεωρία συνόλων, όπως το δυναμοσύνολο ενός συνόλου A, το οποίο είναι δυνατό υποσύνολο του A.

Αργότερα απέδειξε ότι το μέγεθος ενός δυναμοσυνόλου A είναι αυστηρά μεγαλύτερο από το A, ειδικά όταν το A είναι ένα άπειρο σύνολο. Αυτό το συμπέρασμα σύντομα έγινε γνωστό ως το Θεώρημα του Κάντορ.

Ο Γκέοργκ Κάντορ ανέπτυξε μία ολόκληρη θεωρία και την αριθμητική των άπειρων συνόλων, που περιλαμβάνει τους πληθικούς αριθμούς και τους διατακτικούς αριθμούς, οι οποίοι επεκτείνονται στην αριθμητική των φυσικών αριθμών.

Ο συμβολισμός για τους πληθικούς αριθμούς ήταν το γράμμα Hebrew με δείκτη ένα φυσικό αριθμό.

Για τους διατακτικούς επέλεξε το ελληνικό γράμμα ω. Αυτός ο συμβολισμός διατηρείται ακόμα και σήμερα.

Η Υπόθεση του συνεχούς

Η Υπόθεση του συνεχούς, που εισήχθη από τον Κάντορ, παρουσιάστηκε από τον David Hilbert ως ένα από τα 23 ανοιχτά προβλήματα του ιδίου στη γνωστή ανακοίνωση το 1900 στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών στο Παρίσι.

Η εργασία του Κάντορ απέσπασε σπουδαία κριτική.

Ο Αμερικανός φιλόσοφος Charles Sanders Peirce εξήρε τη θεωρία συνόλων του Κάντορ, και στις δημόσιες διαλέξεις που ακολούθησαν από τον ίδιο στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών στη Ζυρίχη το 1897, ο Adolf Hurwitz και ο Jacques Hadamard εξέφρασαν και οι δύο τον θαυμασμό τους.

Στο Συνέδριο αυτό, ο Κάντορ ανανέωσε τη φιλία του και τη συνεργασία του με τον Dedekind.

Από το 1905, ο Κάντορ συνεργάστηκε με τον θαυμαστή του και μεταφραστή Philip Jourdain για την συγγραφή των εργασιών του πάνω στη θεωρία συνόλων και πάνω στις πεποιθήσεις του Cantor.

Αυτό δημοσιεύτηκε αργότερα, όπως και αρκετά από τα έργα του.

Μην μαθαίνεις τα νέα από τη Γερμανία τελευταίος!

Κάνε Like στη σελίδα μας στο Facebook και ενημερώσου πρώτος για όλες τις τελευταίες εξελίξεις.

Έγκαιρη, έγκυρη και ανεξάρτητη ενημέρωση. Όλες οι τελευταίες Ειδήσεις από τη Γερμανία, την Ελλάδα και τον κόσμο, τη στιγμή που συμβαίνουν.

Πως θα ακολουθήσεις το GRland.info στο Facebook; Πάτησε ΕΔΩ.